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औसत पर कुछ महत्वपूर्ण सूत्र

 

1. औसत = $\text"दिये गये परिमाणों का योग" / \text"परिमाणों की संख्या"$

2. माना एक व्यक्ति एक निश्चित दूरी $x$ $\text"किमी/घण्टा"$ की चाल से तथा उतनी ही दूरी y $\text"किमी"/ \text"घण्टा"$ की चाल से तय करता है | तब,

3. पूरी यात्रा में औसत चाल = ${2xy}/{(x +y)}$ $\text"किमी/घण्टा"$

समान्तर श्रेढ़ी: a, a+ d, a+2d, a+3d, ........ 'एक समान्तर श्रेढ़ी है जिसमें प्रथम पद्‌ a, सार्वअन्तर = d

∴ "n" वाँ पद = $T_n$ = a + (n-1)d

"n" पदों का योग = $S_n = n/2[2a+(n-1)d]$ तथा $S_n =n/2(a+1), जहाँ अन्तिम पद l

4. (i) प्रथम "n" प्राकृत संख्याओं का योग = $(1+2+3+4+................+n)= 1/2$ n(n+1)

(ii) प्रथम "n" विषम प्राकृत संख्याओं का योग = {(1+3+5+........(2n+1)} = $n^2$

(iii) प्रथम "n" सम प्राकृत संख्याओं का योग = {2+4+6+ ....... + 2n} = (n+1)

(iv) प्रथम "n" प्राकृत संख्याओं के वर्गों का योग = ${1^2+2^2+3^2+.....+n^2}= 1/6$ n(n+1)(2n+1)

(v) प्रथम "n" प्राकृत संख्याओं के घनों का योग = $(1^3+2^3+3^3+.....+n^3)= {1/2n(n+1)}^2$

 

औसत से संबंधित कुछ उदाहरण

 

उदाहरण-I. प्रथम 50 प्राकृत संख्याओं का औसत कितना है ?

समाधान: हम जानते हैं कि $(1+2+3+ ....... +n)= 1/2 n(n+1)$

∴ (1+2+3+.......+50)= (1/2 × 50 × 51)= 1275

∴ अतः अभीष्ट औसत = $1275/50 = 51/2 = 25.5$

उदाहरण-II. 60 तक की सभी विषम प्राकृत संख्याओं का औसत कितना है?

समाधान: अभीष्ट योग = ( 1+3+5+.......+59) 

यह एक समान्तर श्रेणी है जिसमें a = 1 तथा d = 2

n वाँ पद = 59 ⇒ a+(n-1)d = 59

⇒ 1 + (n-1) × 2 = 59

⇒ (n-1)= $58/2$ = 29

⇒ n = 30

∴ 1+3+5+......तीस पदों तक = $(30)^2$ = 900

अतः अभीष्ट औसत = $900/30$ = 30

उदाहरण-III: 50 तक की सभी सम प्राकृत संख्याओं का औसत कितना है?

समाधान: इन संख्याओं का योग = 2+4+6+8+ .......+ 50

= 2(1+2+3+4+ ......+ 25) = (2 × {25 × 26}/2) = 25 × 26

अभीष्ट औसत = $ { 25 × 26}/ 25$ = 26

उदाहरण-IV: A, B तथा C की आयु क्रमशः 32 वर्ष, 36 वर्ष तथा 46 वर्ष है | इनकी औसत आयु कितनी है?

समाधान: A, B तथा C की आयु का योग = (32+ 36 + 46) वर्ष = 114 वर्ष |

∴ इनकी औसत आयु = $114/3$ वर्ष = 38 वर्ष

उदाहरण-V: एक कक्षा के 31 छात्रों का औसत भार 30 किग्रा० है | यदि अध्यापक का भार भी सम्मिलित कर लिया जाये तो औसत भार में 500 ग्राम की वृद्धि होती है | अध्यापक का भार ज्ञात कीजिए |

समाधान: 37 छात्रों का कुल भार = (30 × 31) किग्रा - 930 किग्रा

(31 छात्र + अध्यापक) का औसत भार = (30 + 0.5) किग्रा = 30.5 किग्रा

(31 छात्र + अध्यापक) का कुल भार = (30.5 × 32) किग्रा = 976 किग्रा

अध्यापक का भार = (976 - 930) किग्रा = 46 किग्रा